(1)

方程 (1) 中的指前因子包括：形核密度N_v，Zeldovich因子Z，原子附着率b^*。t是时间，t是形核的孕育时间， k_B 是玻尔兹曼常数，T 表示温度。

形核能垒定义为 ，其中R* 是临界形核半径， ，形核能垒为：

(2)

其中 形核单位体积的化学驱动力，可以由热力学数据库直接计算得到 是析出相单位体积的弹性应变能，s^ab}是基体/粒子的界面能。对于球形形核有

(3)

(4)

(5)

其中，V_α 是基体的摩尔体积，a是析出相的晶格常数，D_eff 是由[2004Svo] 定义的有效扩散率 。 C_pi 是组元i在析出相中的平均浓度，C₀i是组元i在基体相中的平均浓度。D₀i 是组元i的基体扩散系数。

各向同性基体中均匀物弹性应变能的计算公式为[1940Nab] ：

(6)

其中μ是基体的剪切模量。因此，弹性应变能与体积失配的平方Δ²成正比。 [1940Nab]中给出的函数f(A_R)考虑了形状的影响因子。对于给定的体积，球体(A_R=1)的应变能最大，而薄板(A_R→ 0)具有非常低的应变能量；对于针形状(A_R→ ∞)，其应变能介于两者之间。因此，通过平衡界面能和应变能的抗衡效应，析出相达到一种平衡形状。当Δ很小时，界面能效应应该占主导地位，析出相是大致球形的。

在均匀形核中，潜在形核质点的数量可由下式计算,

(7)

其中N_A 是Avogadro常数。形核质点数量N_f的值是可调节的参数，对于均匀形核，通常将其定为与溶质浓度相近的数值。

在组织演化模块中，可以用两种方法来考虑异质形核。一种方法是将方程 (7) 中的潜在形核质点数量N^f 视为可优化参数，并用用户定义的方程代替方程 (2)。如异质形核KDB 文件示例一 给出的示例。另一种方法是理论上估计潜在形核质点，并假设每个形核质点的有效界面能来计算形核能垒。对于晶界、边缘或角上的形核，形核能垒可以通过文献[1955Cle]中提出的方法来计算，

(8)

其中 是界面能； 是晶界能；a、b和c是几何参数，用于估算晶界、边和角的。通过引入接触角，晶界能可由 计算得到。引入有效的界面能，形核能垒为

其中

(9)

有效界面能 可用于经典形核理论的框架下。当a=0,b=4π,c=4π/3 时，异质形核方程与同质形核方程具有相同的表达形式。

晶界上的潜在形核质点可以由晶界面、晶界边和晶粒角的密度来估算，这取决于晶粒在基体相中的形状和大小，

i= 3, 2, 1, 0

(10)

i= 3, 2, 1, 0

(11)

其中 ρ_i 是形核密度；对于体形核，i=3；晶界形核，i=2；晶粒边缘或位错形核，i=1；晶粒角形核，i=0。晶界，边缘或角的形核密度取决于晶粒尺寸D和四面体形状的长径比A=H/D，

i= 2, 1, 0

(12)

其中f_i(A) 是A 的函数，可以分别针对每种情况进行估计。

对于位错上的形核，如果限定位错密度ρ₁=ρ_d，则可以由方程 (11)计算潜在形核质点。

(c) 界面能的估算

基体相与析出相之间的界面能(Interfacial energy)是析出模拟中最关键的动力学参数。常用广义断裂键(Generalized broken bond, GBB)方法来估算不同温度下不同合金的界面能，

(13)

前缀结构因子0.329反映了析出相从 fcc 和 bcc 基体中析出引起的断键的平均比例。∆H_sol 是可由热力学数据库计算的溶解焓。a_SCF 是析出颗粒尺寸的修正因子。b_dff 是扩散界面的修正因子。它是T/T_C 的函数，T_C 是体系中两相共存时的最高温度或临界温度。在T_C 处，基体和析出相的组成相同，界面能为零。在T = 0 K时，出现理想的尖锐界面。用户可以在kdb文件中提供T_C。如果T_C是未知的且未提供，则b_dff =1， 如Ni-14Al (at%)合金界面能计算的kdb文件示例 所给的示例。