(1)

其中 为晶界有效迁移率， P 驱动力。晶粒的数密度通过保持体积分数守恒来进行调节控制。晶界有效迁移率的表达式为 [2009Pay]：

(2)

其中，d是晶界宽度， A₂是一个由于晶界处原子跳跃导致晶界 移动相关的因子。是多组元体系中的有效原子迁移率，可由迁移率数据库直接计算获得。

(3)

其中C_i基体相的瞬时成分，是原子迁移率。

晶粒长大驱动力P=P_C+P_Z [1985Nes]，其中P_C与局部晶界曲率有关，其表达式为

(4)

其中R是晶粒的曲率半径，γ 是晶界的界面能。

P_Z与析出相的钉扎效应相关，其表达式为：

(5)

其中, 和 分别是每个析出相的相分数和平均颗粒半径，可以通过析出模型计算获得。b 是 Zener 阻力因子，常用值为 b=3/2。

(b) 多尺寸模型

为了追踪晶粒尺寸分布的演变规律，在Pandat™ 中开发了基于 KWN 模型的多尺寸模型。该模型可模拟再结晶（未在此版本中实现）和晶粒粗化过程。 在多尺寸模型中，连续的晶粒尺寸分布 (GSD) 可分为不同的尺寸等级。 该程序在每次采样时间点时都会执行一个模拟步骤。 为了保持两个相邻模拟步骤之间的准确性和效率，使用五阶 Runge-Kutta方案根据连续性方程和增长/粗化率生成自适应步长。

每个晶粒尺寸等级中尺寸粗化率由下式控制 [2009Pay]：

(6)

其中 R_c 是临界半径，通过 计算获得, α 是常数，对于球形晶粒α = 2。晶界有效迁移率 由方程 (2)获得， Zener 钉扎效应 Z可通过 方程 (5) 获得。

在计算出每个尺寸等级的粗化率后，对每个尺寸等级的晶粒数量进行重新分布和归一化，以保持系统的体积分数不变。 为了提高效率，在多尺寸模型中尺寸等级的数量固定，并且每个尺寸等级的宽度根据平均晶粒尺寸自动调整。